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フィボナッチ数

フィボナッチ数

厳選!フィボナッチ・フルコース~フィボナッチ数のマニアックな世界へ~

ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前2つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

2.フィボナッチ・フルコース

①.フィボナッチ数の整除性(オードブル)

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(4\)余る素数とする(たとえば\(11\), \(19\)など)。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう!
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか?さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②.Lameの定理(スープ)

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い(めんどくさい)とのこと!
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2=10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

フィボナッチ数

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「1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…」この数列をご存知でしょうか?

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●黄金比との関係

数列は「1,1」から始まり、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. と続いていきます。

黄金比(人が美しいと感じる比率)の式は" 1 : 1.618。フィボナッチ数列を比率で表していくと

2 : フィボナッチ数 3 = 1 : 1.5、3 : 5 ≒ 1 : 1.666666、5 : 8 = 1 : 1.6、8 : 13 = 1 : 1.625、13 : 21 = 1 : 1.61538

名古屋市科学館

展示ガイド

自然現象に見る数学

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展示作品の狙い
知識プラスワン

【フィボナッチ数】
フィボナッチ数とは、最初に1と1があり、その後は前2つの数字を足した数というものです。具体的には、1、1、2、3、5、8、13、21・・・・・と続く数字です。
自然現象に現れるフィボナッチ数に次のものがあります。ヒマワリの花の中で、種の並びは渦巻模様になっていて、その渦巻の腕の本数がフィボナッチ数になります。他にも松かさやパイナップルの鱗片(りんぺん)も渦巻模様になっていますが、その腕の本数もフィボナッチ数になります。
フィボナッチは12世紀から13世紀にかけてイタリアのピサで活躍した数学者です。彼は「算盤の書」という本で、アラビア数字(現代の私たちが慣れ親しんでいる0から9までの数字)をヨーロッパに紹介しました。その本の中で「うさぎの問題」と言われる、うさぎのつがいがある条件のもとでどのように増えるのかという問題を出しており、その答えはフィボナッチ数になります。
フィボナッチ数は、大きなフィボナッチ数になるほど、隣り合う2つの数の比が一定の値に近づき、極限値(どこまでも数を大きくしていった時の値)は黄金比になります。黄金比とは最も美しいと言われる数の比(およそ1:1.6)です。
【フラクタル】
木の枝が樹木全体の形に似ていたり、複雑に入り組んだ海岸線が、一部分と、もっと大きな面積とを見比べたときに形が似ていたりするような、図形の部分と全体が相似になっているものをフラクタルといいます。
フラクタルという言葉は、数学者ブノワ・マンデルブロ(1924-2010)が「折れた」とか「ひびが入った」を意味するフラクツスというラテン語から作ったもので、1977年に論文で発表しました。フラクタルは数学の概念なので厳密な意味では自然界にフラクタルは存在しませんが、よくあてはまる例として、人や動物の血管の分岐構造や肺の構造、山岳地形など自然界のあらゆるところに見出されます。
【充填(じゅうてん)図形】 フィボナッチ数
平面や空間を、一種類あるいは数週類の図形や立体だけで埋めつくすことができます。そのような図形を自然物の中に見ることができます。正六角形がすきまなく並んだ蜂の巣はその典型的なものです。玄武岩の柱状節理(ちゅうじょうせつり)も六角形がすきまなく並んでいます。
正六角形以外に、一種類だけで平面を充填できる正多角形は、正三角形と正方形のみです。正多角形でなければ、一種類だけで平面を充填できるものには、平行四辺形を始め他にもいろいろとあります。複数種類の多角形であれば、様々なものがありますが、そのどれもが周期的なパターンで埋めつくされます。
周期的なパターン以外に、非周期な充填図形もあります。イギリスの物理学者ロジャー・ペンローズ(1931年生まれ)が2種類の図形で非周期な平面図形を見出しました。その図形はペンローズ・タイルと呼ばれています。自然に存在する結晶はペンローズ・タイルに相当するような充填構造はないと考えられていましたが、1984年にペンローズ・タイルと同じ5回対称性を持つ結晶が発見され、準結晶と名付けられました。

参考資料
視覚でとらえるフォトサイエンス物理図録(2006)数研出版編集部(数研出版)
日常にひそむ数理曲線(2010)佐藤雅彦(小学館)
文 学芸員 山田吉孝

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